Günlük hayatta gecikme kaçınılmaz bir sonuçtur. Kullanılan herhangi bir fiziksel sistemde mutlaka, saniyelerle bile olsa bir gecikme oluşmaktadır. Bazı sistemlerde bu gecikme mikrosaniyelerle ifade edilse de, sonuçta bir gecikme sürecine bağlıdır. Etkiyi veren uyarıcı x(t), y(t) tepkisiyle sonuç bulur. Buradaki t zamanı, h ise gecikmeyi ifade etmek üzere y(t) tepkisi x(t-h) uyarıcısına eşit olur. Daha kapsamlı sistemlerde gecikme birden fazla da olabilir. Matematiksel ifadelerle aşağıdaki gibi bir başlangıç değer problemi ele alınırsa; x' (t)= f(t,x(t)) $t\geq t_0$ x(t)= $x_0$ $x_0$ başlangıç değerini, $t_o$ başlangıç noktasını belirtir. $x_0$ ve $t_o$ reel sabit sayılardır. Eğer t noktasındaki bir çözümün değişim oranı yalnızca t noktasındaki çözüme değil, aynı zamanda t'den farklı değerlerdeki çözüme ve çözümün türevlerine bağlı ise buna fonksiyonel diferansiyel denklem veya sapmalı argümentli diferansiyel denklem adı verilir. Bu çalışmada sapma argümentli diferansiyel denklemlerin sınıflarından biri olan gecikmeli diferansiyel denklemler ve çözüm yöntemlerinden biri olan ortalama yöntemi incelenmiştir.

Delay is an unavoidable result in daily life. I here occur a delay absolutely in seconds in whichever phsical systems which are used. Even though in some systems delay continues microsecond, as a result the depends on the delay process. The which are used. Even though in some systems delay continues microsecond, as a result the depends on the delay process. The stimulant x(t) which gives the efect results whit y(t) reaction. Here t represents time, h represents delay and so y(t) reaction is equal to x(t-h) stimulant. In comprehensive systems delay can be more than one. When we consider a beginning value problem as follows: x' (t)= f(t,x(t)) $t\geq t_0$ x(t)= $x_0$ $x_0$ represents the beginning value, $t_o$ represents the beginning point.$x_0$ and $t_o$ are real definite numbers. If the variation rate of the solution t-point depends not only on the solution at t-point, but also at the same time depends on solution of the different values of t and derivative of the solution, so it is called functional differantial equations or differential equation with deviation arguments. In this study, differantial equations with delay which is one of the class of differantial equations with deviation arguments and one of the solution method called averaging method are examined.