Dönen bir referans sisteminde verilen navier-stokes denklemlerinin sonlu elemanlarla çözümlerinin uzun zamanlı kararlılığı üzerine

Bu makale, Navier-Stokes denklemlerinin uzun zamanlı kararlılık davranışını zamana göre doğru ve uyarlanabilir sonlu elemanlar yöntemiile dönen bir referans sistemin içindeçalışır. Önerilen sayısal şema iki ayrıştırılmışbasamaktan oluşur. Birincibasamakta, Navier-Stokes denklemleri standart,doğrusallaştırılmış,geriEuler (GE) sonlu elemanlar yöntemi (SEY) ile çözülür. İkinci basamakta, birinci basamakta elde edilen yaklaşık hız çözümü iki adımlı, doğrusal bir zaman filtresiyle düzeltilir. Yaklaşık hız çözümünün? 2 -normuna göre tüm zamanlarda kararlı olduğu ispatlanır. Kararlılık analizinin yeniliği, yaklaşık hız çözümü için elde edilen karalılık sınırının herhangi bir Gronwall tipi değerlendirmekullanmamasıve Reynolds sayısına polinomsal olarak bağımlı olmasıdır ki bu uzun zamanlı kararlılık konusunda çok yaygın değildir. Makale ayrıca algoritmayı test etmek için iki sayısal deney sunar. Birincisayısal deneynormunu daha uzun zaman aralıklarınde basınca dayanıklı ve basınca dayanıklı olmayan SE kullanarakönerilen algoritmanın hız çözümünün ? 2 -normunukarşılaştırır. Sonuçlar, özellikle daha küçük ? değerleri için, şemanınbasınca dayanıklıyöntemlerle çok daha doğru hız çözümleri verdiğini gösterir. Diğer taraftan ikinci deney ise filter basamağının uzun zaman aralıkları üzerindeönerilensayısal yöntemin doğruluğunu artırdığını gösterir.

On the long-time stability of finite element solutions of the navier-stokes equations in a rotating frame of reference

This paper studies the long-time stability behavior of the Navier-Stokes equations (NSE) in a rotating frame ofreference with atime accurate and adaptive finite element method. The proposed numerical scheme consists of twodecoupled steps. In the first step, the Navier-Stokes equations are solved with the standard linearized backwardEuler finite element method (BE-FEM). In the second step, the approximate velocity solution obtained in the firststep is post proceeded with a 2-step, linear time filter. It is proven that the approximate velocity solution is stablewith respect to?2-norm at all times. The novelty of the stability analysis is that the stability bound obtained for theapproximate velocity solution does not use any Gronwall-type estimate and is polynomially dependent on theReynolds number, which is not common in long-time stability notion. The paper also provides two numericalexperiments to test the algorithm. The first numerical experiment compares the ?2-norm of the velocity solutionof the proposed algorithmusing pressure-robust and non pressure-robustFE over longer time intervals. The resultsreveal that the scheme gives much more accurate velocity solutions with pressure-robust methods, especially forthe smaller ?. The second experiment, on the other hand, shows that the filter step increasesthe accuracy of theproposed numerical method over long-time intervals.

PDF

___

[1] Adams R.A. 1975. Sobolev Spaces. Academic Press, New York.
[2] Akbas Belenli M., Rebholz L.G., Tone F. 2015. A Note on the Importance of Mass Conservation in Long-Time Stability of Navier-Stokes Simulations Using Finite Elements. Applied Mathematics Letters, 45: 98-102.
[3] Chen W., Gunzburger M., Sun D., Wang X. 2013. Efficient and Long-Time Accurate SecondOrder Methods for Stokes-Darcy System. SIAM J. Numer. Anal., 51(5): 2563-2584.
[4] Decaria V., Layton W., Zhao H. 2020. A Time Accurate, Adaptive Discretization for Fluid Flow Problems. Inter. J. Numer. Anal. Mod., 17(2): 254-280.
[5] Ewald B., Tone F. 2013. Approximation of the Long-Term Dynamics of the Dynamical System Generated by the Two-Dimensional Thermohydraulies Equations. International Journal of Numerical Analysis and Modelling, 10(3): 509-535.
[6] Girault V., Raviart P.A. 1979. Finite Element Approximation of the Navier-Stokes Equations. Lecture Notes in Mathematics 719, Springer-Verlag, Berlin.
[7] Gottlieb S., Tone F., Wang C., Wang X., Wirosoetisno D. 2012. Long-Time Stability of a Classical Efficient Scheme for Two Dimensional Navier-Stokes Equations. SIAM J. Numer. Anal., 50 (1): 126-150.
[8] Güzel A., Layton W. 2018. Time Filters Increase Accuracy of the Fully Implicit Method. BIT Numer. Math., 58 (2): 301-315.
[9] Heister T., Olshanskii M.A., Rebholz L.G. 2017. Unconditional Long-Time Stability of a Velocity-Vorticity Method for 2D Navier-Stokes Equations. Numer. Math., 135(1): 143-167.
[10] John V., Linke A., Merdon C., Neilan M., Rebholz L. 2017. On the Divergence Constranint in Mixed Finite Element Methods for Incompressible Flows. SIAM Rev., 59(3): 492-544.
[11] Layton W. 2008. Introduction to Finite Element Methods for Incompressible,Viscous Flow. SIAM, Philadelphia.
[12] Lee H.K., Olshanskii M.A., Rebholz L.G. 2011. On Error Analysis for the 3D Navier-Stokes Equations in Velocity-Vorticity-Helicity Form. SIAM J. Numer. Anal., 49(2): 711-732.
[13] Linke A. 2014. On the role of the Helmholtz Decomposition in Mixed Methods for Incompressible Flows and a New Variational Crime. Comput. Method.Appl. M., 268: 782-800.
[14] Linke A., Merdon C. 2016. Pressure-Robustness and Discrete Helmholtz Projectors in Mixed Finite Element Methods for the Incompressible Navier-Stokes Equations. Comput. Method. Appl.M., 311: 304-326.
[15] Ahmed N., Linke A., Merdon C. 2017. Towards Pressure-Robust Mixed Methods for the Incompressible Navier-Stokes Equations. In Proceedings of the Finite Volumes for Complex Applications 8: 351-359.
[16] Pedlosky J. 1992. Geophysical Fluid Dynamics. Springer, New York.
[17] Tone F. 2007. On the Long-Time Stability of the Crank-Nicolson Scheme for the 2D NavierStokes Equations. Numer. Meth. Part. D.E., 23(5): 1235-1248.
[18] Tone F. 2009. On the Long-Time ? 2 -Stability of the Implicit Euler Scheme for the 2D MagnetoHydrodynamics Equations. J. Sci. Comput., 38(3): 331-348.
[19] Tone F., Wirosoetisno D. 2006. On the Long-Time Stability of the Implicit Euler Scheme for the two-dimensional Navier-Stokes Equations, SIAM Journal on Numerical Analysis, 44(1): 29-40.
[20] Wang X. 2012. An Efficient Second Order in Time Scheme for Approximating Long-Time Statistical Properties of the Two Dimensional Navier-Stokes Equations. Numer. Math., 121(4): 753-779.