Bu çalışmanın amacı henüz çözülemediği iddia edilen Dikdörtgen Oluşturmadan Maksimum Sayıda Kutu Karalama Sorusu’nun çözümü için bir alt sınır sunmaktır. Makale boyunca Dikdörtgen Oluşturmadan Maksimum Sayıda Kutu Karalama Sorusu adıyla anılan soru şu şekildedir: n × m lik bir çizelgede dikdörtgen oluşturulmadan en fazla kaç kutu karalanabilir? Öncelikle sorunun Sonlu Matematikte çokça kullanılan güvercin yuvası ilkesiyle ilgili olduğu fark edilmiştir. Daha sonra sorunun bir alt versiyonları incelenmiştir. Sorunun bir alt versiyonu her satırda en fazla y sayıda kutu karalanırsa ne olur, z tane renk kullanılırsa ne olur tarzında çözülebilir sorulardır. Bu soruyla bir alt versiyonu arasındaki ilişki gözetilerek problemin çözümü için bir alt sınır oluşturulmuştur. Soru iki farklı durumda incelenmiştir. Birinci duruma doğrudan ispat tekniğiyle çözüm bulunmuştur. İkinci duruma doğrudan ispat tekniği ve kodlamadan yararlanılarak bir alt sınır bulunmuştur. Bulunan sonucun doğruluğu bolca örnekle test edilmiştir. Sonuç olarak, genelliği bozmadan n ≤ m alındığında, n satır ve m sütunluk bir çizelgede C(n, 2) ≤ m ise dikdörtgen oluşturmadan karalanabilecek maksimum kare sayısı C(n, 2) + m olarak bulunmuştur. C(n, 2) > m ise dikdörtgen oluşturmadan karalanabilecek maksimum kare sayısı için bir alt sınır bulunmuştur. Bu alt sınır 2m + x ‘tir. Bahsedilen x değişkeni bir kod yazarak bulunmuştur ve m, n sayılarının değerine göre değişir.

The aim of this study is to present a lower bound for the solution to the unsolved question “Scratching Maximum Number of Boxes Without Forming a Rectangle’’. The question that will be referred to as the “Scratching Maximum Number of Boxes Without Forming a Rectangle’’ throughout the article is: How many boxes can be scratched in a m × n table without forming a rectangle? Firstly, it has been noticed that the problem is related to the pigeonhole principle, which is widely used in Finite Mathematics. Later, subversions of the question were examined. Subversions of the problem are solvable questions such as what happens if at most y boxes are scribbled on each line, and what happens if z colours are used. Considering the relationship between this question and the subversions, a lower bound was created to solve the problem. The problem was considered in 2 cases. The direct proof technique was used to solve the first case of the problem. A lower bound was found for the second case of the problem with the help of the direct proof technique and coding. The accuracy of the result found has been tested with lots of samples. As a result of the study, if n ≤ m is taken without breaking the generality, if C(n, 2) ≤ m in a table with n rows and m columns, the maximum number of squares that can be drawn without forming a rectangle is C(n, 2) + m. If C(n, 2) > m, a lower bound has been found for the maximum number of squares that can be drawn without forming a rectangle. This lower bound is 2m + x. The mentioned variable x was found by writing a code that changes according to the values of m, n numbers.