Değişmeli Grup Halkalarında G-Nilpotent Birimsel Elemanların Direkt Çarpım Gruplarına Bir Genellemesi

V(RG), bir R halkası üzerindeki bir G grubunun RG grup halkasının normalleştirilmiş birim grubunu göstersin. Değişmeli bir grup halkasındaki G-nilpotent birimsel kavramı (Danchev, 2012)'de tanımlanmıştır. Bu çalışmada da, bir G×H direkt çarpım grubunun değişmeli grup halkasında normallenmiş birimsel elemanlar grubunun sadece G×H-nilpotent birimsel elemanlardan oluşabilmesi için bazı gerek ve yeter şartlar verilmiştir. Ayrıca özel olarak G×C_3 ve G×C_4 gruplarına dair bazı sonuçlar sunulmuştur ki burada C_3 ve C_4 sırasıyla 3 ve 4 mertebeli devirli gruplardır. Bu bağlamda, makale (Danchev, 2012)’deki sonuçları genişletir diyebiliriz. Sonunda, gelecek çalışma için açık problem sunulmuştur.

Anahtar Kelimeler:

Birimsel, Direkt çarpım grubu, Genelleme, Nilpotent

A Generalization of G-Nilpotent Units in Commutative Group Rings to Direct Product Groups

Let V(RG) denote the normalized unit group of the group ring RG of a group G over a ring R. The concept of G-nilpotent unit in a commutative group ring has been defined in (Danchev, 2012). In this study, some necessary and sufficient conditions for a normalized unit group in a commutative group ring of a direct product group G×H to consist only of G×H-nilpotent units have been given and especially some results which are related to groups G×C_3 and G×C_4 have been introduced where C_3 and C_4 are cyclic groups of orders 3 and 4 respectively. In this context, we can say that the paper extends the results in (Danchev, 2012). At the end, an open problem is served as a future work.

Keywords:

Direct product group, Generalization, Nilpotent, Unit,

PDF

___

Bourbaki, N. (1989). Elements of Mathematics, Commutative Algebra. Berlin, Germany: Springer.
Danchev, P. (2008). Trivial units in commutative group algebras. Extracta mathematicae, 23(1), 49-60.
Danchev, P. (2009). Trivial units in abelian group algebras. Extracta mathematicae, 24(1), 47-53.
Danchev, P. (2010). Idempotent units of commutative group rings. Communications in Algebra, 38(12), 4649-4654. doi:10.1080/00927871003742842
Danchev, P. (2012). G-nilpotent units in Abelian group rings. Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, 53(2), 179-187.
Görentaş, N. (1999). A characterization of idempotents and idempotent generators of QS_3. Bulletion of pure and Applied Sciences, 2(18), 289-292.
Görentaş, N. (2020). A note on simple trinomial units in U_1 (ZC_p). Turkish Journal of Mathematics, 44(5), 1783-1791. doi:10.3906/mat-2003-63
Karpilovsky, G. (1982). On units in commutative group rings. Archiv der Mathematik, 38, 420–422. doi:10.1007/BF01304809
Küsmüş, Ö. (2019,Aralık). Nilpotent, idempotent and units in group rings. (PhD), Yuzuncu Yıl University, Institute of Natural and Applied Science Van, Turkey.
Küsmüş, Ö. (2020). On idempotent units in commutative group rings. Sakarya University Journal of Science, 24(4), 782-790. doi:10.16984/saufenbilder.733935
Li, Y. (1998). Units of Z(G×C_2). Quaestiones Mathematicae, 21(3-4), 201-218. doi:10.1080/16073606.1998.9632041
May, W. (1976). Group algebras over finitely generated rings. Journal of Algebra, 39(2), 483–511. doi:10.1016/0021-8693(76)90049-1
Milies, C. P., & Sehgal, S. K. (2002). An Introduction to Group Rings. Amsterdam, North-Holland: Kluwer.
Sehgal, S. K. (1978). Topics in group rings. New York, US: Marcel Dekker.