İZİ SIFIR OLAN JENERİK MATRİSLER CEBİRİ İÇİN NOWICKI SANISI

Rankı d olan değişmeli polinom cebiri K[Xd ]=K[x1,…,xd ] nin yerel nilpotent nilpotent δ türevlerine Weitzenböck denir. K[Xd ] nin δ tarafından sıfıra giden polinomlarının oluşturduğu K[Xd ]^δ alt cebirinin sonlu üretildiği bilinmektedir. Weitzenböck türevi δ nın K[Xd,Yd ] üzerine δ(yi )=xi, δ(xi )=0, i=1,…,d, şeklinde etkidiğini varsayalım. K[Xd,Yd ]^δ nin üreteçlerinin açık bir ifadesi Nowicki tarafından 1994 de tahmin edilmiştir. Bu çalışmada Nowicki sanısını bileşenleri altı üreteçli değişmeli birleşmeli birimli polinom cebirinden gelen iki izi sıfır matrisin ürettiği W cebiri için ele alıyor ve bu cebiri içindeki W^δ cebiri için serbest üreteçler elde ediyoruz.

Anahtar Kelimeler:

Jenerik matrisler cebiri, Nowicki sanısı, Sabitler cebiri

THE NOWICKI CONJECTURE FOR TRACELESS GENERIC MATRIX ALGEBRAS

A locally nilpotent linear derivation δ of the commutative polynomial algebra K[Xd ]=K[x1,…,xd ] of rank d is called Weitzenböck. It is well known that the subalgebra K[Xd ]^δ of K[Xd ] consisting of polynomials which are sent to zero by δ is finitely generated. Let the Weitzenböck derivation δ act on K[Xd,Yd ] such that δ(yi )=xi, δ(xi )=0, i=1,…,d. The explicit form of generators of the algebra K[Xd,Yd ]^δ was conjectured by Nowicki in 1994. In this study, we consider the Nowicki conjecture in the algebra W generated by two traceless generic matrices with entries from commutative associative unitary polynomial algebra with six variables, and obtain the free generators of the algebra W^δ of constants in this algebra.

Keywords:

Algebra of constants, Generic matrix algebra, The Nowicki conjecture,

PDF

___

[1] Hilbert D. Mathematische probleme. Göttinger Nachrichten 1900; 253-297, Arch. Math. u. Phys. 1901; 3(1): 44-63, Bull. Amer. Math. Soc. 1902; 8(10): 437-479.
[2] Nagata M. On the 14-th problem of Hilbert. Amer J Math 1959; 81: 766-772.
[3] Noether E. Der Endlichkeitssatz der Invarianten endlicher Gruppen, Math Ann 1916; 77: 89-92.
[4] Weitzenböck R. Über die Invarianten von linearen Gruppen. Acta Mathematica 1932; 58: 231-293.
[5] Nowicki A. Polynomial derivations and their rings of constants. Toruń: Uniwersytet Mikolaja Kopernika, 1994.
[6] Khoury J. A Groebner basis approach to solve a conjecture of Nowicki. Journal of Symbolic Computation 2008; 43(12): 908-922.
[7] Drensky V, Makar-Limanov L. The conjecture of Nowicki on Weitzenböck derivations of polynomial algebras. J Algebra Appl 2009; 8(01): 41-51. doi: 10.1142/S0219498809003217
[8] Kuroda S. A Simple Proof of Nowicki's Conjecture on the Kernel of an Elementary Derivation. Tokyo Journal of Mathematics 2009; 32(1): 247-251.
[9] Drensky V. Another proof of the Nowicki conjecture. Tokyo Journal of Mathematics 2020; 43 (2): 537-542. doi: 10.3836/tjm/1502179320
[10] Drensky V, Fındık Ş. The Nowicki conjecture for free metabelian Lie algebras. International Journal of Algebra and Computation 2020; 19 (5): 2050095. doi: 10.1142/S0219498820500954
[11] Centrone L, Fındık Ş. The Nowicki conjecture for relatively free algebras. Journal of Algebra 2020; 552: 68-85.
[12] Centrone L, Dushimirimana A, Fındık Ş. On Nowicki's conjecture: a survey and a new result. Turkish Journal of Mathematics 2022; 46(5): 1709-1734. doi: 10.55730/1300-0098.3228
[13] Le Bruyn L, Trace rings of generic 2 by 2 matrices, Mem Amer Math Soc 1987; 66(363): VI-110.