Fahrettin KAYA, Ercan EFE, Fatih ÜÇKARDEŞ

Kesikli Yarı-Markov Geçiş Olasılıklarının Konvolüsyon Yardımıyla Hesaplanmasına Dayalı Çok Durumlu Bir Sağkalım Modeli ve Bir Uygulama

Bu çalışmanın amacı Kesikli yarı-Markov geçiş olasılıklarının konvolüsyon yardımıyla hesaplanmasına dayalı çok durumlu bir sağkalım modeli oluşturulması üzerinedir. Bu araştırmada, veriler, kalp nakli yapılan bireylerde koroner allogreft vaskülopati (CAV) hastalığının ilerlemesini incelemek amacıyla dört farklı seviye de tanımlanmıştır: hastalıksız (1) durum, hafif hasta (2) durumu, orta ve şiddetli hasta (3) durumu ve hastalık nedeniyle ölüm (4) durumu. İzlenen hastaların bu durumlar arasındaki geçişleri ile yarı-Markov zinciri oluşturulmuştur. Bu zincir temel alınarak, çok durumlu sağkalım modelindeki durumlar arasındaki geçiş olasılıklarını tahmin etmek için konvolüsyon yöntemi tabanlı bir hesaplama yöntemi kullanılmıştır. Bu yöntem, yarı-Markov matris-değerli olasılık geçiş fonksiyonunu (P(t)) tahmin etmek amacıyla kullanılmıştır. Tüm geçişli durumlar olan S_1 (t),S_2 (t) ve S_3 (t) sağkalım fonksiyonları ile F_1 (t),F_2 (t)ve F_3 (t) ilk geçiş süresinin dağılım fonksiyonları ve bunlara ilişkin parametrik fonksiyonlar ve diğer hazard fonksiyonları elde edilmiştir. Ayrıca, koroner allogreft vaskülopati hastalarının hastalık seviyeleri dikkate alınmadan elde edilen Kaplan-Meier sağkalım fonksiyonu olan S_KM (t) hesaplanmıştır. Zaman ilerledikçe, sağkalım fonksiyonlarının olasılık değerlerinin farklı şekillerde değiştiği sonucuna varılmıştır. Orta ve şiddetli hasta (3) durumunda sağkalım fonksiyonu hızla azalırken ortalama bekleme süresi 5.56 yıl olarak bulunmuştur. Hastalıksız (1) durumunda sağkalım fonksiyonu daha yavaş bir şekilde azalırken ortalama bekleme süresi 9 yıl olarak hesaplanmıştır. Hafif hasta (2) durumunda ise sağkalım fonksiyonu Kaplan-Meier sağkalım fonksiyonuna benzer bir şekilde azalırken ortalama bekleme süresi 7.35 yıl olarak bulunmuştur. Sonuç olarak, çok durumlu sağkalım modeli kullanılarak koroner allogreft vaskülopati hastalığının farklı seviyelerindeki sağkalım fonksiyonları, ilk geçiş sürelerinin dağılımları ve ortalama bekleme sürelerinin farklı olduğunu göstermektedir. Bu nedenle, geleneksel sağkalım analizi yerine çok durumlu sağkalım analizi, klinik değerlendirmeye daha fazla katkı sağlamakta ve daha fazla bilgiye erişim ve yorumlama olanağı sunmaktadır. Bu çalışmanın, alanda çalışan araştırmacılara yol gösterici olabileceği düşünülmektedir.

Anahtar Kelimeler:

Çok Durumlu Modelleme, Konvolüsyon, Sağkalım Analizi, Stokastik Süreç

A Multi-State Survival Model and an Application Based on the Reciprocal of the Convolution of the Discrete Semi-Markov Transition Probability

The aim of this study is to create a multi-state survival model based on the calculation of discrete semi-Markov transition probabilities using convolution. In this research, data defined four different levels to examine the progression of coronary allograft vasculopathy (CAV) in individuals who underwent heart transplantation: disease-free (1) state, mild disease (2) state, moderate and severe disease (3) state, and death due to the disease (4) state. A semi-Markov chain was constructed based on the transitions between these states in the observed patients. Using this chain, a convolution-based calculation method was used to estimate the transition probabilities between states in the multistate survival model. This method was used to estimate the semi-Markov matrix-valued probability transition function (P(t)). Survival functions for all transitional states, S_1 (t), S_2 (t), and S_3(t), as well as distribution functions for the first passage times F_1 (t), F_2 (t), F_3 (t) and their corresponding parametric functions and other hazard functions were obtained. Additionally, the Kaplan–Meier survival function S_K M(t), which is obtained without considering the disease levels of coronary allograft vasculopathy patients was calculated. It was concluded that the probability values of the survival functions change in different ways as time passes. The survival function rapidly decreases in the moderate and severe disease (3) state, with an average waiting time of 5.56 years. In the disease-free (1) state, the survival function decreases at a slower rate, with an average waiting time of 9 years. In the mild disease (2) state, the survival function decreases in a similar way to the Kaplan–Meier survival function, with an average waiting time of 7.35 years. In conclusion, the multistate survival model demonstrates that survival functions, distribution of first passage times, and average waiting times differ across different levels of coronary allograft vasculopathy. Therefore, multistate survival analysis, rather than traditional survival analysis, contributes more to clinical evaluation and provides greater access to information and interpretation. This study can guide researchers working in this field.

Keywords:

Multi-State Modeling, Convolution, Survival Analysis, Stochastic Process,

PDF

___

Allignol A, Schumacher M, Beyersmann J. 2011. Empirical transition matrix of multi-state models: the etm package. J Stat Software, 38: 1-15.
Barbu V, Boussemart M, Limnios N. 2004. Discrete-time semi-Markov model for reliability and survival analysis. Commun Stat Theory Methods, 33(11): 2833-2868.
Barbu VS, Limnios N. 2008. Reliability of semi-Markov systems in discrete time: Modeling and estimation. Handbook Perform Engin, 2008: 369-380.
Barbu VS, Limnios N. 2009. Semi-Markov chains and hidden semi-Markov models toward applications: their use in reliability and DNA analysis. Springer Science Business Media, New York, USA, Vol. 191, pp: 226.
Cook RJ, Lawless LF. 2018. Multistate Models for the Analysis of Life History Data (P. F. R. H. N. K. T. L. R. S. and W. W. F. Bunea Ed.). CRC Press, New York, USA, ISBN: 978-1-4987-1560-7, pp: 414.
Dantony E, Elsensohn M. H, Dany A, Villar E, Couchoud C, Ecochard R. 2016. Estimating the parameters of multi-state models with time-dependent covariates through likelihood decomposition. Comput Biol Med, 69: 37–43.
De Wreede LC, Fiocco M, Putter H. 2010. The mistate package for estimation and prediction in non-and semi-parametric multi-state and competing risks models. Comput Method Prog Biomed, 99(3): 261-274.
Foucher Y, Mathieu E, Saint‐Pierre P, Durand JF, Daurès JP. 2005. A semi-Markov model based on generalized Weibull distribution with an illustration for HIV disease. Biometrical Journal: J Math Meth Biosci, 47(6): 825-833.
Grabski F. 2014. Semi-Markov processes: application in system reliability and maintenance. J Polish Safety Reliabil Assoc, 5: 135-147.
Hougaard P, Dk P. 1999. Multi-state Models: A Review. In Lifetime Data Anal, 5: 239–264.
Jackson C. 2011. Multi-state models for panel data: the msm package for R. J Stat Software, 38: 1-28.
Jackson C. 2021. Multi-state modelling with R: the msm package https://cran.r-project.org/web/packages/msm/vignettes/msm-manual.pdf (erişim tarihi: 12 Mart 2022).
Jia J, Barbera L, Sutradhar R. 2016. Using Markov multistate models to examine the progression of symptom severity among an ambulatory population of cancer patients: are certain symptoms better managed than others. J Pain Symptom Manage, 51(2):232–239.
Kaya F, Efe E, Üçkardeş F. 2022. Kesikli yarı-Markov geçiş olasılıklarının konvolüsyon yardımıyla hesaplanmasına dayalı çok durumlu bir sağkalım modeli ve bir uygulama. Doktora tezi, Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Kahramanmaraş, Türkiye, ss: 159.
Król A, Saint-Pierre P. 2015. Semimarkov: An R package for parametric estimation in multi-state semi-markov models. J Stat Software, 66(6): 1–16.
Küçüker A, Arda K, Özatik M. A, Küçüker Ş. A, Şener E. 2013. Kalp nakli alıcılarında allogreft vaskülopatinin bilgisayarlı tomografi koroner anjiyografi ile değerlendirilmesi. Türk Göğüs Kalp Damar Cerrahisi Derg, 21(2): 294-299.
Lisnianski A, Elmakias D, Laredo D, Ben Haim H. 2012. A multi-state Markov model for a short-term reliability analysis of a power generating unit. Reliab Engin System Safety, 98(1): 1–6.
Önalan Ö. 1996. Hisse senedi fiyat değişimlerinin stokastik süreç olarak analizi. Doktora tezi, Marmara Üniversitesi, Sosyal Bilimleri Enstitüsü, İstanbul, Türkiye, ss: 24.
Pekalp M.H, Aydoğdu H, 2013. Sayma süreçlerine ilişkin trend testleri ve karşılaştırılmaları. Yüksek lisans tezi, Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, Türkiye, ss: 130.
Putter H, van Hage J, der de Bock GH, Elgalta R, van de Velde CJH. 2006. Estimation and prediction in a multi-state model for breast cancer. Biometrical J, 48(3): 366–380. Competing risks and multistate models. Clinical Cancer Research 19(1) 12–21.
Schmoor C, Schumacher M, Finke J, Beyersmann J. 2013. Competing risks and multistate models. Cli Cancer Res, 19(1): 12–21. DOI: 10.1158/1078-0432.CCR-12-1619.
Xiong J, Fang Q, Chen J, Li Y, Li H, Li W, Zheng X. 2021. States transitions inference of postpartum depression based on multi-state markov model. International J Environment Res Pub Health 18(14).