Matrix Method Development for Structural Analysis of Euler Bernoulli Beams with Finite Difference Method

Yapı sistemlerinin davranışı genellikle adi ya da kısmi diferansiyel denklemler ile tarif edilmektedir. Sonlu Farklar Yöntemi (SFY), diferansiyel denklemlerde yer alan türev ifadelerinin sonlu farklar yaklaşımları ile değiştirilmesi esasına dayanır. Sonlu fark formülasyonlarının sayısal çözümlere veya adi diferansiyel denklemlere göre daha doğrudan bir yaklaşım sunduğu söylenebilir. Bu çalışmada, yapıların SFY ile analizi için bir matris yaklaşımı önerilmektedir. Sistem rijitlik matrisinin geliştirilmesi, sınır koşullarının uygulanması, yapısal eleman üzerine yükleme koşullarını içeren sistem analiz prosedürü önerilmektedir. Yapı elemanın diferansiyel denklemlerine bağlı olarak etkileşimli noktalar grubu tanımlanmıştır ve bu dinamik noktalar grubu kullanılarak sistem rijitlik matrisi üretilmiştir. Bu çalışmada önerilen algoritmalar kolaylığından dolayı Euler Bernoulli kirişleri için geliştirilmiş olup gelecek çalışmalarda aynı adımlar kullanılarak herhangi bir yapısal sistem için geliştirilebilir.

Euler Bernoulli Kirişlerinin Sonlu Farklar Yöntemi ile Yapısal Analizi için Matris Yöntemi Geliştirilmesi

The behaviors of structural systems are generally described with ordinary or partial differential equations. Finite Difference Method (FDM) mainly replaces the derivatives in the differential equations by finite difference approximations. It can be said that finite difference formulation offers a more direct approach to the numerical solution of partial differential equations. In this study, matrix approach is proposed for structural analysis with FDM. The system analysis procedure including stiffness matrix development, applying boundary and loading conditions on a structural element is proposed. The interacting points group is determined depending on the differential equations of the structural element and system rigidity matrix is generated by using this dynamic points group. The proposed algorithms are developed for Euler Bernoulli beams in this study because of its simplicity and may be enhanced for any other structural system in future studies by using same steps.

PDF

___

Chawla, M.M. and Katti, C.P. 1982. Finite difference methods and their convergence for a class of singular two-point boundary value problems, Numerische Mathematik, 39, 341-350.
Cocchi, G.M., 2000. The finite difference method with arbitrary grids in the Elastic-static analysis of three- dimensional continua. Computers and Structures, 75, 208
Cocchi, G.M., Cappello, F., 1990. Convergence in elastic- static analysis of three-dimensional continua using the finite difference method with arbitrary grids.
Computer and Structures, 36(3), 389-400. D'Amico, B., Zhang , H., Kermani, A., 2016. A finite- difference formulation of elastic rod for the design of actively bent structures. Engineering Structures, 117, -527
Forsythe, G.E. and Wasow, W.R., 1960. Finite Difference Methods for Partial Differential Equations, John Wiley & Sons, Inc., New York-London.
Jones, J., Wu, C., Oehlers, D. J., Whittaker, A. S., Sun, W., Marks, S., Coppol, R., 2009. Finite difference analysis of simply supported RC slabs for blast loadings. Engineering Structures, 31(12), 2825-2832.
Jovanovic, B.S. and Popovic, B.Z., 2001. Convergence of a finite difference scheme for the third boundary- value problem for an elliptic equation with variable coefficients. Computational Methods in Applied Mathematics. 1 (4), 356-366.
Jovanovic, B.S., Lemeshevsky, S.V., Matus, P.P., Vabishchevich, P.N., 2006. Stability of solutions of differential-operator and operator-difference equations in the sense of perturbations of operators. Computational Methods in Applied Mathematics, 6 (3), 269-290.
Jovanovic, B.S., Vulkov, L.G., 2001. On the convergence of finite difference schemes for the heat equation with concentrated capacity. Numerische Mathematik, 89 (4), 715-734.
Kalyani, V.K., Pallavika, Chakraborty, S.K., 2014. Finitedifference time-domain method for modelling of seismic wave propagation in viscoelastic media. Applied Mathematics and Computation, 237, 133- 145
Liu, Y., Yin, C., 2014. 3D anisotropic modeling for airborne EM systems using finite-difference method. Journal of Applied Geophysics, 109, 186-194.
MATLAB (2009). The MathWorks, Natick, MA.
Moreno-García, P., Lopes, H. , Araújo dos Santos, J.V., 2015. Application of higher order finite differences to damage localization in laminated composite plates, Composite Structures.
Strikwerda, J.C., 1990. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. Chapman & Hall, New York.
Thomee, V., 1990. Finite difference methods for linear parabolic equations. P.G. Ciarlet, J.L. Lions (Eds.), Handbook of Numerical Analysis, Vol. I. Finite Difference Methods (Part 1), North-Holland, Amsterdam, 5-196.
Zienkiewicz, O.C., 1971. The Finite Element Method in Engineering Science, London: McGraw-Hill.