The 2-rank of the class group of some real cyclic quartic number fields II

The 2-rank of the class group of some real cyclic quartic number fields II

In this paper, we determine the 2-rank of the class group of certain classes of real cyclic quartic number fields. Precisely, we consider the case in which the quadratic subfield is Q( √ ℓ) with ℓ = 2 or a prime congruent to 1 (mod 8).

___

  • [1] Azizi A. Sur le 2-groupe de classes de certains corps de nombres. Annales des sciences mathématiques du Québec 2004; 28 (1-2): 37-44.
  • [2] Azizi A, Mouhib A. Sur le rang du 2-groupe de classes de Q( √ m, √ d) où m = 2 ou un premier p ≡ 1 mod 4.
  • Transactions of the American Mathematical Society 2001; 353 (7): 2741-2752. doi: 10.1090/S0002-9947-01-02753-2.
  • [3] Azizi A, Mouhib A. Le 2-rang du groupe de classes de certains corps biquadratiques et applications. International Journal of Mathematics 2004; 15 (2): 169-182. doi: 10.1142/S0129167X04002235.
  • [4] Azizi A, Talbi M. Structure du groupe de galois pour certains corps de classes. International Journal of Algebra 2010; 4 (23): 1127-1136.
  • [5] Bauer H. Zur Berechnung der 2-Klassenzahl der quadratischen Zahlkörper mit genau zwei verschieden Diskriminantenprimteilern. Journal für die reine und angewandte Mathematik 1971; 248: 42-46. doi: 10.1515/crll.1971.248.42.
  • [6] Brown E, Parry CJ. The 2-class group of certain biquadratic number fields. Journal für die reine und Angewandte Mathematik 1977; 295: 61-71.
  • [7] Brown E, Parry CJ. The 2-class group of certain biquadratic number fields II. Pacific Journal of Mathematics
  • 1978; 78 (1): 11-26. doi: euclid.pjm/1102806295. [8] Cohn H. Introduction to the construction of class fields. New York, NY, USA: Cambridge University Press, 1985.
  • [9] Gras G. Class Field Theory: From Theory to Practice. Corr. 2nd ed. , Springer Monongraphs in Mathematics. Berlin, Heidelberg, Germany: Springer, 2005.
  • [10] Gras MN. Calcul du nombre de classes et des unités des extensions abéliennes réelles de Q. Bulletin des Sciences Mathématiques 1977; 101: 97–129.
  • [11] Gras MN. Classes et unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de Q. Annales de l’institut Fourier (Grenoble) 1979; 29: 107–124. doi: 10.5802/aif.729.
  • [12] Gras MN. Table numérique du nombre de classes et des unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de Q. Publications Mathématiques de Besançon. Algèbre et Théorie des Nombres, 1977-78; 2 (1). doi: 10.5802/pmb.a-17.
  • [13] Hasse H. An algorithm for determining the structure of the 2-Sylow-subgroup of the divisor class group of a quadratic number fleld. Symposia of Mathematics 1975; 15: 341-352.
  • [14] Hasse H. Arithmetische Bestimmung von Grundeinheit und Klassenzahl in zyklischen kubischen und biquadratishen Zahlkorpern. Abhandlungen der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1948; 2: 1-95.
  • [15] Hardy K, Hudson RH, Richman D, Williams KS, Holtz M. Calculation of the class numbers of imaginary cyclic quartic fields. Mathematics of Computation 1987; 49 (180): 615-620. doi: 10.2307/2008334.
  • 16] Hilbert D. Bericht über die theorie der algebraischen Zahlkörper. Jahresbericht der Deutschen MathematikerVereinigung 1894-95; 4.
  • [17] Hymo JA, Parry CJ. On relative integral bases for cyclic quartic fields. Journal of Number Theory 1990; 34: 189-197. doi: 10.1016/0022-314X(90)90149-L.
  • [18] Lemmermeyer F. Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein. Springer Monographs in Mathematics. Berlin, Germany: Springer, 2000.
  • [19] Leopoldt HW. Uber einheitengruppe und klassenzahl reeller abelscher zahlkörper. Abhandlungen der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse für Mathematik 1953; 2: 1-48.
  • [20] McCall TM, Parry CJ, Ranalli RR. Imaginary bicyclic biquadratic fields with cyclic 2-class group. Journal of Number Theory 1995; 53: 88-99. doi: 10.1006/jnth.1995.1079.
  • [21] McCall TM, Parry CJ, Ranalli RR. The 2-rank of the class group of imaginary bicyclic biquadratic fields. Canadian Journal of Mathematics 1997; 49: 283-300. doi: 10.4153/CJM-1997-014-2.
  • [22] Parry CJ. A genus theory for quartic fields. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 1980; 314: 40-71.
  • [23] Parry CJ. Pure quartic number fields whose class numbers are even. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 1975; 264: 102-112. doi: 10.1515/crll.1975.272.102.
  • [24] Parry CJ. Real quadratic fields with class number divisible by 5. Mathematics of Computation 1977; 31: 1019-1029. doi: 10.2307/2006134.
  • [25] Xianke Zh. Cyclic quartic fields and genus theory of their subfields. Journal of Number Theory 1984; 18: 350-355. doi: 10.1016/0022-314X(84)90067-2.
  • [26] Zink O. Extensions cycliques de degré 2 n sur Q. Séminaire delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres 1966-1967; 8 (2): 1-12. doi: SDPP_1966-1967_8_2_A7_0.