Matematik Öğretmeni Adaylarının Sonsuz Kümelerin Denkliği ile İlgili İspatlama Yaklaşımları ve Yaşadıkları Güçlükler

Bu çalışmada öğretmen adaylarının sonsuz kümelerin denkliği ile ilgili ispatlama yaklaşımlarının ve bu konu ile ilgili güçlüklerinin belirlenmesi amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda verilerin toplanması için açık uçlu sorular içeren bir form geliştirilmiş ve 121 matematik öğretmeni adayına uygulanmıştır. Elde edilen veriler içerik analizi ile incelenmiştir. İspatların sınıflanması için Blum ve Kirsch (1991) tarafından sunulan ispat şeması dikkate alınmıştır. Sonuçta öğretmen adaylarının gerçekleştirdikleri ispatlarda formal ve pre-formal yaklaşımları benimseyebildikleri tespit edilmiştir. Bununla birlikte pre-formal yaklaşıma sahip bireylerin ispatlama aktivitelerinde, formal bilgileri ile sezgilerini bir arada kullanabildikleri de görülmüştür. Diğer yandan öğretmen adaylarının ispatı oluşturamamalarına neden olan yanılgıları, bilgi eksiklikleri ve yöntemsel yetersizlikleri belirlenip özellikle yanılgılar, başlıklar halinde sunulmuştur.

Anahtar Kelimeler:

Sonsuz kümeler, Cantor küme teorisi, eşgüçlülük, ispat, matematik eğitimi

Prospective Mathematics Teachers’ Proving Approaches and Difficulties Related to Equivalence of Infinity Sets

In this study, it was aimed to determine both prospective teachers’ proving approaches related to equivalence of infinite sets and their difficulties about this subject. In accordance with this purpose, a form including open-ended questions was developed to collect data and it was applied to 121 mathematics teacher candidates. Obtained data were analyzed via content analysis. Proof scheme introduced by Blum and Kirsch (1991) was taken into account for categorizing proofs. Consequently, it was identified that prospective teachers can adopt both formal and pre-formal approaches in their proving activities. In addition, it has been seen that individuals, who used pre-formal approach, can use their formal knowledge and intuitions together in proving activities. On the other hand, misconceptions, lack of knowledge and methodological deficiencies, which caused to candidate teachers to fail constructing proof, were identified and especially the misconceptions of them were presented through separate headings.

Keywords:

Infinite sets, Cantor set theory, cardinality, proof, mathematics education,

PDF

___

Akbulut, K. ve Akgün, L. (2005). Matematik ve sonsuzluk. Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi Dergisi, 11, 548-559.
Aylar, E. (2014). 7. sınıf öğrencilerinin ispata yönelik algı ve ispat yapabilme becerilerinin irdelenmesi (Yayınlanmamış doktora tezi). Hacettepe Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, Ankara.
Aztekin, S. (2008). Farklı yaş gruplarındaki öğrencilerde yapılanmış sonsuzluk kavramlarının araştırılması (Yayınlanmamış doktora tezi). Gazi Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, Ankara.
Baki, A. (2006). Kuramdan uygulamaya matematik eğitimi. Trabzon: Derya Kitabevi.
Balacheff, N. (1988). Aspects of proof in pupils' practice of school mathematics. In D. Pimm (Ed.) Mathematics, Teachers and Children (pp. 216-235). London: Hodder & Stoughton Bell, A. W. (1979). The learning of process aspects of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 10(3), 361-87.
Blum, W., & Kirsch, A. (1991). Preformal proving: Examples and reflections. Educational Studies in Mathematics, 22(2), 183-203.
Büyüköztürk, Ş. (2005). Anket geliştirme. Türk Eğitim Bilimleri Dergisi, 3(2), 133–151.
Çelik, D. ve Akşan, E. (2013). Matematik öğretmen adaylarının sonsuzluk, belirsizlik ve tanımsızlık kavramlarına ilişkin anlamları. Necatibey Eğitim Fakültesi Elektronik Fen ve Matematik Eğitimi Dergisi, 7(1), 166-190.
Dubinsky, E., Weller, K., Mcdonald, M. A., & Brown, A. (2005). Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: An apos-based analysis. Educational Studies in Mathematics, 58(3), 335-359.
Fischbein, E. (1999). Intuitions and schemata in mathematical reasoning. Educational Studies in Mathematics, 38, 11-50.
Fischbein, E. (2001). Tacit models and infinity. Educational Studies in Mathematics, 48(2-3), 309-329.
Fischbein, E., Tirosh, D., & Hess, P. (1979). The intuition of infinity. Educational Studies in Mathematics, 10(1), 3-40.
Güney, Z. ve Özkoç, M. (2015). Soyut matematik. İzmir: Dinozor Kitabevi.
Güven, B. ve Karataş, İ. (2004). Sonsuz kümelerin karşılaştırılması: Öğrencilerin kullandığı yöntemler. Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Eğitim Fakültesi Dergisi, 15, 65-73.
Harel, G. & Sowder, L. (1998). Students' proof schemes: results from exploratory studies. In A.H. Schoenfeld, J. Kaput, & E. Dubinsky (Eds.) Research in collegiate mathematics education III (pp. 234-283). Providence, RI: American Mathematical Society.
Jirotková, D., & Littler, G. (2003). Student's concept of ınfinity in the context of a simple geometrical construct. International Group for the Psychology of Mathematics Education, 3, 126-132.
Kanbolat, O. (2010). Bazı matematiksel kavramlarla ilgili epistemolojik engeller (Yayınlanmamış yüksek lisans tezi). Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Trabzon.
Kaptan, S. (1998). Bilimsel araştırma ve istatistik teknikleri. Ankara: Tekışık Web Ofset.
Karaçay, T. (2004). Yirminci yüzyılda matematiği sarsan temel düşünceler. Matematik Dünyası, 13(2), 57-63.
Kolar, V. M., & Cadez, T. H. (2012). Analysis of factors influencing the understanding of the concept of infinity. Educational Studies in Mathematics, 80(3), 389-412.
Maria, K., Thanasia, M., Katerina, K., Constantinos, C., & George, P. (2009, February). Teachers’ perceptions about infinity: A process or an object? Paper presented at the CERME 6, Lyon, France.
Martin, W. G., & Wheeler, M. M. (1987, July). Infinity concepts among preservice elementary school teachers. Paper presented at the 11th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, France.
Miyazaki, M. (2000). Levels of proof in lower secondary school mathematics. Educational Studies in Mathematics, 41, 47-68.
Narlı, S., & Başer, N. (2008). Cantorian set theory and teaching prospective teachers. International Journal of Environmental & Science Education, 3(2), 99-107.
Narlı, S. ve Narlı, P. (2012). Sonsuz sayı kümeleri ışığında ilköğretim öğrencilerinin sonsuzluk algı ve yanılgılarının belirlenmesi. Buca Eğitim Fakültesi Dergisi, 33, 123-137.
Özmantar, F. (2010). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali & H. Akkoç (Ed.), Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri içinde (ss. 151-180) (2. baskı). Ankara: Pegem Akademi.
Pala, O. (2016). İlköğretim matematik öğretmen adaylarının sonsuz kümelerin denkliği konusundaki kanıt imajlarının incelenmesi (Yayınlanmamış yüksek lisans tezi). Dokuz Eylül Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, İzmir.
Patton, M. Q. (2014). Nitel araştırma ve değerlendirme yöntemleri (M. Bütün & S. B. Demir, Çev.). Ankara: Pegem Yayınevi.
Sbaraglı, S. (2006). Primary school teachers’ beliefs and change of beliefs on mathematical infinity. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 5(2), 49-76.
Shipley, W. J. (1999). An investigation of college students’ understanding of proof construction when doing mathematical analysis proofs (Unpublished doctoral dissertation). The American University, Washington.
Singer, F. M., & Voica, C. (2008). Between perception and intuition: Learning about infinity. The Journal of Mathematical Behavior, 27(3), 188-205.
Tall, D. (1998, August). The Cognitive Development of Proof: Is Mathematical Proof For All or For Some? Paper presented at the Conference of the University of Chicago School Mathematics Project, Chicago.
Tall, D.O. (2001). Natural and formal infinities. Educational Studies in Mathematics, 48(2-3), 199-238.
Tsamir, P. (1999). The transition from comparison of finite to the comparison of infinitesets: teaching prospective teachers. Educational Studies in Mathematics, 38, 209– 234.
Tsamir, P. (2001). When the same is not perceived as such: The case of infinite sets. Educational Studies in Mathematics, 48(2-3), 289-307.
Tsamir, P., & Dreyfus, T. (2002). Comparing infinite sets—a process of abstraction: The case of Ben. The Journal of Mathematical Behavior, 21(1), 1-23.
Türk Dil Kurumu [TDK]. (2018). İspat. www.tdk.gov.tr adresinden 01.03.2018 tarihinde erişilmiştir.
Uğurel, I. ve Moralı, H. S. (2010). Bir ortaöğretim matematik dersindeki ispat yapma etkinliğine yönelik sınıf içi tartışma sürecine öğrenci söylemleri çerçevesinde yakından bakış. Buca Eğitim Fakültesi Dergisi, 28, 135-154.
Weber, K. (2001). Student difficulty in constructing proof: the need for strategic knowledge. Educational Studies in Mathematics, 48(1), 101–119.
Weber, K., & Alcock, L. (2004). Semantic and syntactic proof productions. Educational Studies in Mathematics, 56 (2/3), 209-234.
Yıldırım A. ve Şimşek H. (2013). Sosyal bilimlerde nitel araştırma yöntemleri. Ankara: Seçkin Yayıncılık.