$E_2^5$ Yarı-Öklid Uzayındaki Biharmonik Hiperyüzeyler

Bu çalıŞmada, $E_2^5$ yarı-Öklid uzayının indeksi 2 olan biharmonik hiperyüzeyleri, ∇H gradyenti ışıksal olan H ortalama eğrilerine sahip olmaları, yani $\left(\nabla H,\;\nabla H\right)=0$ ve $\nabla H\not\equiv0$ koşullarının sağlanması varsayımı altında incelenmiştir. İlk iki bölümde problem tanıtılmış ve çalışmanın diğer bölümünde kullanılacak bazı temel tanım ve formüller hatırlatılmıştır. Ayrıca, 2 indeksli bir hiperyüzeyin şekil operatörlerinin tüm mümkün kanonik formları elde edilmiştir. Çalışmanın üçüncü bölümünde, bu durumların her biri için hiperyüzeylerin bazı geometrik özellikleri araştırılmıştır. Özellikle, ∇H gradyenti ışıksal olan biharmonik hiperyüzeyin şekil operatörünün 2 olası kanonik formu olduğu elde edilmiştir. Hemen ardından, $E_2^5$ yarı-Öklid uzayında indeksli 2 ve ortalama eğriliğinin gradyenti ışıksal olan bir biharmonik hiperyüzeyin olmadığı ispatlanmıştır. Son bölümde ise, çalışmadan elde edilen sonuçlar özetlenmiş ve tartışma bölümü verilmiştir.

Biharmonic Hypersurfaces in the Pseudo-Euclidean Space $E_2^5$

In this work, biharmonic hypersurfaces of index 2 in pseudo-Euclidean space $E_2^5$ are studied under the assumption of having mean curvature H whose gradient ∇H is light-like, i.e. $\left(\nabla H,\;\nabla H\right)=0$ and $\nabla H\not\equiv0$. In the ﬁrst two sections, the problem is introduced and some basic deﬁnitions and formulas that we will use in other part of the paper are recalled. Moreover, all possible canonical forms of the shape operator of a hypersurface of index 2 are obtained. In the third section of this work, for each of these cases, some of geometrical properties of hypersurfaces is investigated. In particular, there are 2 possible canonical forms of the shape operator for a biharmonic hypersurface such that whose gradient ∇H is light-like are obtained. After that, the non-existance of biharmonic hypersurface of index 2 in pseudo-Euclidean space $E_2^5$ with the light-like ∇H is proved. In the last section, the results from this work is summarized and the discussion part is given.

PDF

___

[1] Eells, J., Sampson, J. H. 1964. Harmonic Mappings of Riemannian Manifolds, Amer. J. Math., 86 (1), 109–160.
[2] Dimitri´c,I.1989.Quadricrepresentationandsubmanifolds of ﬁnite type, Michigan State University, Department of Mathematics, Ph.D. Thesis, USA.
[3] Arvanitoyeorgos, A., Defever, F., Kaimakamis, G. and Papantoniou, V. 2007. Biharmonic Lorentzian hypersurfaces inE4 1, Pac. J. Math., 229(2), 293–305.
[4] Arvanitoyeorgos, A., Kaimakamis, G. and Magid, M. 2009. Lorentz hypersurfaces in E4 1 satisfying ∆H = αH, lllinois J. Math., 53, 581–590.
[5] Chen, B.-Y. and Munteanu, M. I. 2013. Biharmonic ideal hypersurfaces in Euclidean spaces, Differential Geom. Appl., 31, 1-16.
[6] Chen, B.-Y. 1991. Some open problems and conjecturesonsubmanifoldsofﬁnitetype,SoochowJ.Math., 17 (2), 169-188.
[7] Chen, B.-Y. 1996. A report on submanifolds of ﬁnite type, Soochow J. Math., 22, 117-337. [8] Defever, F. 1998. Hypersurfaces ofE4 with harmonic mean curvature vector, Math. Nachr, 196, 61-69.
[9] Chen, B.-Y., Ishikawa, S. 1998. Biharmonic surfaces inpseudo-Euclideanspaces,KyushuJ.Math.,52,167185.
[10] Arvanitoyeorgos, A., Defever, F., Kaimakamis, G. and Papantoniou, V. 2007. Hypersurfaces ofE4 s with proper mean curvature vector, J. Math. Soc. Japan, 59 , 797-809.
[11] Defever, F., Kaimakamis, G. and Papantoniou, V. 2006. Biharmonichypersurfacesofthe4-dimensional semi-Euclidean space E4 s, J. Math. Anal. Appl., 315, 276-286.
[12] Turgay, N. C. 2016. Some classiﬁcations of biharmonic Lorentzian hypersurfaces in Minkowski 5space, Mediterr. J. Math., 13 (1) , 401-412.
[13] Turgay, N. C. 2016. A classiﬁcation of biharmonic hypersurfaces in Minkowski space of arbitrary dimension, Hacet. J. Math. Stat., 45, 1125-1134.
[14] Upadhyay, A. and Turgay, N. C. 2016. A Classiﬁcation of Biconservative Hypersurfaces in a PseudoEuclidean Space, J. Math. Anal. Appl., 444(2), 1703– 1720.
[15] Upadhyay, A. 2016. On the shape operator of biconservative hypersurfaces in E5 2, Proceedings Book of International Workshop on Theory of Submanifolds, 1, 166-186. [16] Petrov, A. Z. 1969. Einstein spaces, Pergamon Press, Oxford,.