Fibonacci Sayıları ile Alt Yörüngesel Grafların Özel Köşeleri Arasındaki İlişkiler

(Sims, 1967) in çalışmasındaki genel fikirler kullanılarak, \Gamma Modüler grubunun rasyonel projektif doğrusu üzerindeki impirimitif hareketi ile üretilen alt yörüngesel graflar incelendi. (u,N)=1 ve N>1 olmak üzere, G_1,1 Farey grafının özellikleri G_u,N alt yörüngesel graflarına genişletildi (Jones vd., 1991). Önceki çalışmamızda G_u,N nin [sonsuz] bloğundaki yörüngelerinden oluşan F_u,N alt yörüngesel grafının alt grafları olan ağaçlar incelendi. Bu alt graflar üzerindeki minimal uzunluklu yolların köşelerinin sürekli kesirler ile ilişkileri tespit edildi ve F_u,N alt yörüngesel grafındaki bu yolda bir köşenin bağlanabileceği en uzak köşenin değeri bulundu (Deger vd., 2011). Bu çalışmada ise özel durumlarda bu tip köşelerin sürekli kesir yapısı ile birlikte Fibonacci sayıları ile ilişkileri incelendi. En önemli sonuç olarak, F_0=0, F_1=1 ve her n>=2 doğal sayısı için n. Fibonacci sayı dizisinin değeri F_n olmak üzere, (burada yazılamıyor) eşitliği bulundu. Bu matris yardımı ile birlikte F_2n-1 ve F_2n+1 Fibonacci dizisi terimleri de elde edildi.

Anahtar Kelimeler:

Alt Yörüngesel Graflar, Fibonacci Sayıları, Minimal Uzunluk, Sürekli Kesirler

Relationships with the Fibonacci Numbers and the Special Vertices of the Suborbital Graphs

Using general ideas in the study of (Sims, 1967), suborbital graphs produced by imprimitive action on rational projective line of the modular group were examined. Properties of Farey graph were extended to suborbital graphs , where and (Jones et al., 1991). In our previous study, trees which are subgraphs of the suborbital graphs consisting of the orbits in block of were examined. Relationships of continued fractions with vertices of paths of minimal length on the subgraphs were established and value of the farthest vertex which a vertex can be bound on this path of the suborbital graph was found (Deger et al., 2011). In the present study, using structure of continued fractions, relationships of values of these type of vertices with Fibonacci numbers in special cases were investigated. As a most important result, equation was found, where and value of Fibonacci number sequence for all natural number is as . In addition, terms of Fibonacci sequence and were obtained by using this matrix.

Keywords:

Suborbital Graphs, Fibonacci Numbers, Minimal Length, Continued Fractions,

PDF

___

Akbas, M., 2001, On Suborbital Graphs for the Modular Group, Bulletin of the London Mathematical Society, 33, 647-652.
Biggs, N.L. ve White, A.T., 1979, Permutation Groups and Combinatorial Structures, London Mathematical Society Lecture Note Series 33, Cambridge University Press, Cambridge, 140p.
Cuyt, A., Petersen, V.B., Verdonk, B., Waadeland, H. ve Jones, W.B., 2008, Handbook of Continued Fractions for Special Functions, Springer, New York, 431p.
Deger, A.H., Besenk, M. ve Guler, B.O., 2011, On Suborbital Graphs and Related Continued Fractions, Applied Mathematics and Computation, 218, 3, 746-750.
Deger, A.H., 2017, Vertices of Paths of Minimal Lengths on Suborbital Graphs, Filomat, (in press).
Diamond, H.G., 1982, Elementary Methods in the Study of the Distrubition of Prime Numbers, Bulletin of the American Mathematical Society, 7, 3, 553-589.
Ford, L.R., 1951, Automorphic Functions, American Mathematical Society, Chelsea Publishing Series 85, 333p.
Guler, B.O., Besenk, M., Deger, A.H. ve Kader, S., 2011, Elliptic Elements and Circuits in Suborbital Graphs, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 40, 2, 203-210.
Jones G.A., Singerman, D. ve Wicks, K., 1991, The Modular Group and Generalized Farey Graphs, London Mathematical Society Lecture Note Series, 160, 316-338.
Kader, S., Guler, B.O. ve Deger, A.H., 2010, Suborbital Graphs for a Special Subgroup of the Normalizer of Γ_0 (m), Iranian Journal of Science and Technology, Transactions A: Science, 34, 4, 305-312.