E^n Uzayında Küresel Eğrileri Karakterize Eden Diferansiyel Denklem Ve Çözümü

Bu çalışmada biz öncelikle n- boyutlu Öklid uzayında, Frenet çatısına göre küresel eğrileri karakterize eden n. mertebeden lineer, değişken katsayılı diferansiyel denklemi elde ettik. Katsayıları eğrilik ve torsiyon fonksiyonlarına bağlı bu diferansiyel denklem her birim hızlı düzgün küresel eğri tarafından sağlanır. Bu tip denklemleri genellikle analitik olarak çözmek mümkün değildir, bu yüzden biz başlangıç koşulları kullanarak, sıralama noktaları ve Taylor polinomlarına dayalı bir nümerik metod sunduk. Bizim metodumuzla öncelikle, n-boyutlu Öklid uzayında küresel eğrileri karakterize eden diferansiyel denklemin çözülmesi problemini, cebirsel denklemlerin bir sisteminin çözülmesi problemine indirgedik ve sonra Taylor polinomlarının genel terimlerinde bu denklemin yaklaşık çözümünü elde ettik.

Anahtar Kelimeler:

Frenet çatısı, Küresel eğriler, Lineer Diferansiyel Denklemler, Taylor matrix sıralama metodu

Differential Equation Characterizing Spherical Curves in E^n and Solution of This Equation

In this study we consider a n. order linear differential equation with variable coefficients characterizing spherical curves according to Frenet frame in Euclidean n-Space . This equation whose coefficients are related to special function, curvature and torsion, is satisfied by the position vector of any ragular unit velocity spherical curve. These type equations are generally impossible to solve analytically and so, for approximate solution we present a numerical method based on Taylor polynomials and collocations points by using initial conditions. Our method reduces the solution of problem to the solution of a system of algebraic equations and the approximate solution is obtained in terms of Taylor polynomials.

Keywords:

Frenet frame, Linear differential equations, Spherical curves, Taylor matrix and collocation method.,

PDF

___

Aydın, T.A., 2014. Differential Equations Characterizing Curves Of Constant Breadth And Spherical Curves In En –Space And Their Solutions, Doktora Tezi, Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi, Muğla
Blaschke, W., 1917. Leipziger Berichte, 67, 290s.
Bruer, S. ve Gottlieb, D. (1971) Explicit Characterization Of Spherical Curves, Proc. Amer. Math. Soc., 27, (1): 126-127
Cheng-Chung, H., 1981. A Differential Geometric Criterion For A Space Curve To Be Closed, Proc. Amer. Math. Soc., 81, (4): 357-361
Dannon, V., 1981. Integral Characterizations And The Theory Of Curves, Proc. Amer. Math. Soc., 81, (4): 600-602
Euler, L., 1778-1780. De Curvis Trangularibis, Acta Acad. Petropol., 3-30
Fujivara, M., 1914. On Space Curves Of Constant Breadth, Thoku Math. J., 5, 179-184
Gluck. H., 1966. Higher Curvatures Of Curves In Euclidean Space, Proc. Amer. Math. Montly, 73 : 699-704
Hacısalihoğlu, H.H., 1993. Diferensiyel Geometri, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Ankara, 269s.
Hacısalihoğlu, H.H., 1998. Lineer Cebir-Cilt I, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Ankara, 480s.
Hacısalihoğlu, H.H., 2000. Diferensiyel Geometri-Cilt II, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Ankara, 340s.
Karamete A., 1996. Lineer Diferansiyel Denklemlerin Yaklaşık Çözümü İçin Taylor Sıralama Yöntemi, Yüksek Lisans Tezi, Balıkesir Üniversitesi, Balıkesir, 43.
Karger, A. ve Novak, J., 1985. Space Kinematics And Lie Groups, Gordon And Breach Science Publishers.
Mağden, A., 1990. R4 – Uzayında Bazı Özel Eğriler Ve Karakterizasyonları, Doktora Tezi, Atatürk Üniversitesi, Erzurum, 34.
Reuleaux, F., 1963. The Kinematics Of Machinery, Trans. By Kennedy A.B.W., Dover Pub., New York
Sezer, M., 1989a. Frenet Benzeri Bir Diferansiyel Denklem Sisteminin İntegral Özellikleri Ve Uygulamaları, II. Ulusal Matematik Sempozyumu, 25 - 28 Eylül 1989, İzmir, Ege Üniversitesi Fen Fakültesi Baskı İşleri, Bildiriler Kitabı, 1. Cilt: 435-444 Sezer, M., 1989b. Differential Equations Characterizing Space Curves Of Constant Breadth And A Criterion For These Curves, Doğa TU J. Math., 13, (2): 70-78
Sezer, M., 1989c. Differential Equations And Integral Characterizations For E4 Spherical Curves, Doğa TU J. Math., 13, (3): 125-131
Sezer, M., 1996. A Method For The Approximate Solution Of The Second Order Linear Differential Equations In Terms Of Taylor Polynomials, Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., 27, (6): 821- 834
Wong, Y-C., 1963. A Global Formulation Of The Condition For A Curve To Lie In A Sphere, Monatsh. Math., 67, (4): 363-365
Wong, Y-C., 1972. On An Explicit Characterization Of Spherical Curves, Proc. Amer. Math. Soc., 34, (1): 239-242