Nevra BAYHAN, Mehmet Turan SÖYLEMEZ

Yapısal olmayan belirsizliğe sahip sistemler için P ve PI kontrolör tasarımı

Bu çalışmada, yapısal olmayan belirsizliğe sahip tek girişli-tek çıkışlı doğrusal zamanla değişmeyen sistemleri kapalı çevrimde dayanıklı kararlı kılan oransal (P) ve oransal-integral (PI) kontrolörlerin tam bir kümesini bulmak için yeni yöntemler önerilmiştir. Böyle bir sistemi dayanıklı kararlı kılan tüm oransal kontrolörleri hesaplamak için önerilen yöntem, temelde Nyquist teoreminin bir genelleştirilmesine dayanır. Yapısal olmayan belirsizliklere sahip bir sistemin Nyquist eğrisi, tek bir eğri olmayıp reel ekseni bölgeler biçiminde kesen bir eğri ailesi biçimindedir. Bu eğri ailesi, belirsizlik disklerinden oluşan bir bantın içinden geçer. Nominal sistemi kararlı yapan kazançlar ile belirsizlik bantının reel ekseni kesim yerlerinden bulunan belirsizlik kazanç kümelerinden yararlanarak sistemi kapalı çevrimde dayanıklı kararlı kılan kazançların hesabı hızlıca yapılabilir. İki reel polinomun köklerinin hesabını gerektiren bu yöntemin bir parametre üzerinde herhangi bir tarama yapmayı gerektirmemesinden dolayı literatürdeki yöntemler üzerine avantajı da vardır. PI kontrolör parametrelerinin kutupsal koordinatlarda yazılmasıyla bulunan yeni sistem için birim daire taratılarak ve bu yöntemden elde edilen sonuçlardan da yararlanılarak dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin tam bölgesi hesaplanabilir. Ayrıca yapısal olmayan belirsizlik içeren sistemi dayanıklı kararlı kılan PI kontrolörleri bulmak için parametre uzayı yaklaşımını kullanan geometrik tabanlı iki yeni yöntem de önerilmiştir. Bu yöntemler, belirsizlik disklerinin orijini içermesi ve içermemesine göre iki aşama içerirler. Birinci yöntem, dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin tam bölgesini hesaplayan yavaş bir yöntemken; diğeri ise dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin yaklaşık bölgesini veren hızlı bir yöntemdir.

P and PI controller design for systems with unstructured uncertainty

In controller design, it is essential to achieve stability of the closed-loop system and various performance specifications. Frequency domain criteria such as gain margin, phase margin and H∞ norms of the closed-loop transfer functions as well as time domain criteria such as settling time, rise time and overshoot can be counted among important performance specifications. Most of the controllers used in the practical world are low order controllers such as P, PI and PID controllers. It is possible to see that methods for finding stabilizing low order compensators can be considered in three main categories: methods based on Nyquist theorem, methods based on a generalized version of the Hermite- Biehler theorem, and methods based on parameter space and the concept of singular frequencies. Robust stabilization of continuous time single-input single-output (SISO) linear time invariant (LTI) systems with multiplicative uncertainties is considered in this study. In particular, it has been shown that all P and PI controllers that robustly stabilize a given uncertain SISO LTI system can be found by utilizing a generalization of the Nyquist theorem and the parameter space approach, respectively. The generalization of Nyquist stability criterion suggests to determine the number of the unstable poles for gain intervals obtained by calculating the location and direction of the crossing of the Nyquist plot with the real axis. A stable characteristic polynomial, whose roots are in the left half plane, becomes unstable if and only if at least one root crosses the imaginary axis. The parameter values of the root crossing form the stability boundaries in the parameter space, which can be classified into three cases: the real root boundary, where a root crosses the imaginary axis at the origin (substitute s= jw and w = 0 in the characteristic polynomial), the infinite root boundary, where a root leaves the left half plane at infinity (for w → ∞ ) and the complex root boundary, where a pair of conjugate complex roots crosses the imaginary axes (for 0< w

PDF

___

Ackermann, J., Blue, P., Bünte, T., Güvenç, L., Kaesbauer, D., Kodt, M., Muhler, M. ve Odental, D., (2002). Robust control the parameter space approach, Springer-Verlag, 29-58, London Berlin Heidelberg.
Bajcinca, N., (2001). The method of singular frequencies for robust design in an affine parameter space, Proceedings, 9th Mediterranean Conference on Control and Automation, Dubrovnik.
Bajcinca, N., (2006). Design of robust PID controllers using decoupling at singular frequencies, Automatica, 42, 11, 1943-1949.
Bayhan, N. ve Söylemez, M. T., (2006a). İstenen kazanç payı ve faz payı kriterlerini sağlayan oransal kontrolörlerin hesaplanması, Otomatik Kontrol Türk Milli Komitesi-Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, 6-8 Kasım, s. 38-43, Ankara.
Bayhan, N. ve Söylemez, M. T., (2006b). Fast calculation of all stabilizing gains for discrete time systems, Istanbul University-Journal of Electrical and Electronics Engineering, 6, 1, 19-26.
Bayhan, N. ve Söylemez, M. T., (2006c). Ayrık zamanlı sistemlerde istenen kazanç payı ve faz payı kriterlerini sağlayan oransal kontrolörlerin hesaplanması için bir yöntem, Elektrik-Elektronik Bilgisayar Mühendisliği Sempozyumu, 6-10 Aralık, s. 259-263, Bursa.
Bayhan, N. ve Söylemez, M. T., (2007a). Calculation of maximum achievable phase margin for open-loop stable systems using proportional controllers, Proceedings, 5th IFAC Intl. WS Decom-TT, 99-104, May 17-20, İzmir.
Bayhan, N. ve Söylemez, M. T., (2007b). A new technique for calculation of maximum achievable gain and phase margins with proportional control, Proceedings, 15th IEEE Mediterranean Conference on Control and Automation, Paper No. T19-019, June 27-29, Athens, Greece.
Datta, A., Ho, M.T. ve Bhattacharyya, S.P., (2000). Structure and synthesis of PID controllers, Springer, London, UK.
Ho, M.T., Datta, A. ve Bhattacharyya, S.P., (1997). Control system design using low order controllers: constant gain, PI and PID, Proceedings of the American Contol. Conference, 571-578.
Ho, M.T., Datta, A. ve Bhattacharyya, S.P., (1999). Generalizations of the Hermite-Biehler theorem, Linear Algebra and Its Applications, 302, 135-153.
Ho, M.T., Silva, G.J., Datta, A. ve Bhattacharyya, S.P., (2001). Robust and non-fragile PID controller design, International Journal Robust Nonlinear Control, 4126-4138, Boston.
Ho, M.T., (2001). Synthesis of H∞ PID Controllers, Proceedings, IEEE Conference on Decision and Control, 255–260, Orlando, Florida, USA.
Iwasaki, T. ve Skelton, R.E., (1995). All fixed order H∞ controllers: Observer based structure and covariance bounds, IEEE Transactions on Automatic Control, 40, 512-516.
Kiani, F. ve Bozorg, M., (2006). Design of digital PID controllers using the parameter approach, International Journal of Control, 79, 6, 624-629.
Munro, N., Söylemez, M.T. ve Baki, H., (1999). Computation of D-stabilizing low-order compensators, Control Systems Centre Report 882, Umist, Manchester.
Munro, N., Söylemez, M.T. ve Baki, H., (2000). Fast Calculation Of Stabilizing PID Controllers For Uncertain Parameter Systems, Proceedings, IFAC, Rocond, Prague, Czech Rebuplic.
Nyquist, H., (1932). Regeneration theory, Bell System Technical Journal, 11, 126-147.
Skogestad, S. ve Postlethwaite, L., (2005). Multivariable Feedback Control, John Wiley & Sons, West Sussex, England.
Söylemez, M.T., Munro, N. ve Baki, H., (2003). Fast calculation of stabilizing PID controllers, Automatica, 39, 1, 121-126.
Söylemez, M.T. ve Bayhan, N., (2008). Calculation of all H∞ robust stabilizing gains for SISO LTI systems, Proceedings, 17th IFAC World Congress Of The International Federation Of Automatic Control, July 6-11, Seoul, Korea.
Tan, N., Kaya, İ., Yeroğlu, C. ve Atherton, D.P., (2006). Computation of stabilizing PI and PID controllers using the stability boundary locus, Accepted: Energy Conversion & Management.