Bu çalışmada doğrusal yapılandırılmış kuvantum sistemlerin eniyilemeli denetimi üzerineodaklanılmıştır. Hareket denklemlerinin oluşturumu ve sonra da çözümü üzerinde çalışmalarda bulu- nulmuştur. Potansiyel tanımında konuma bağımlılıkta, bağımsız değişkenlerin en çok ikinci derecedenolan kuvvetlerinin ya da onların ikili çarpımlarının doğrusal birleşimi alınmaktadır. Bu yapılar, sonun- da birinci basamaktan sıradan türevli bir denklem takımıyla tanımlanabilen duruma getirilebilmektedir.Bu denklem takımında bağımsız değişken zaman parametresi olmakta ve değeri 0 ile etkileşme süresinigösteren T değeri arasında değişebilmektedir. Denklem takımına eşlik eden koşulların yarısı etkileşiminbaşında diğer yarısı ise sonunda verildiğinden “Zamanda Sınır Değer Problemi” nitelikli matematikselbir yapıyla karşılaşılmaktadır. Çalışma dalga fonksiyonu ile eşdüzey fonksiyonunu değil, özellikle, dışalan genliği ile sapma parametresinin belirlenmesini amaçlamaktadır. Denklemlerin yapılarının elver- mesinden yararlanarak, sadece zamana bağımlı olan ve aslında herbiri ya bir beklenen değer ya dadalga fonksiyonunun tanımladığı düzey ile eşdüzey fonksiyonunun tanımladığı düzey arasında geçişdeğeri olan bilinmeyenler üzerinde sıradan türevli denklem takımları oluşturmak amaçlanmış vebaşarılmıştır. Denklem takımının oluşturulması bütünüyle özgün olarak üretilmiş bulunmaktadır. İnce- lenen durumlardaki doğrusal yapılandırım, elde edilen sıradan türevli denklemlerin de doğrusal yapılıolmasına olanak sağlamıştır. Sınır değerli bu denklemlerin, ağırlıkların analitik olması durumundakesin olarak çözümü sağlanmış diğer durumlar için önerilen bir saptırım açılımınınsa tüm parametredeğerleri için yakınsak olacağı gösterilmiştir. Eniyilemeli denetimde denetim süresinin çözümüngerçekte uygulanabilirliğini çok önemli biçimde etkilediği gösterilmiştir. Sayıları sonsuz olabilen kritikdenetleme süreleri için dış alan genliğinin ve sapmanın sonsuza gidebildiği bazı denetim sürelerinin isesapmayı sıfırlama olanağı verebildiği de gösterilmiştir.

This work focuses on the evaluation of critical con- trol times in the optimal control of linear quantumsystems. The linearity is used to imply the existenceof only linear intra forces in the system. This meansthat the system under consideration is composed ofharmonic oscillators.The linearity is not only in the forces. The externalfield’s dipole polarizability function is also takenlinear in spatial variables. Beyond that the objectiveoperator whose expectation value’s deviation fromits target value should be minimized in square andthe penalty operator whose expectation value is tobe suppressed are also linear in position and mo- mentum operators.We assume that the system has 3N degree of freedomand the cost functional for the optimal control iscomposed of four terms:(1) objective term which is the square of the objec- tive operator whose expectation value’s devia- tion from its prescribed target;(2) penalty term for getting finiteness in externalfield;(3) penalty term for an operator whose norm isto be suppressed ;(4) dynamical constraint term which enters thequantum motion of the system to the optimisa- tion. This cost functional depends on five un- kowns: (1-2) wave function and its complexconjugate; (3-4) costate function which is infact the Lagrange multiplier of the dynamicalconstraint term. It varies in time and space andsomehow describes the backward motion of thesystem from the final instant of the control. It isa complex valued function hence its complexconjugate is the companion unknown to itself;(5) The external field amplitude within the dipolethe polarizability approximation. It is temporaland real valued.There may be a shorthand notation for the deviationof the expectation value of the objective operatorfrom its target value. In that case, this entity can beconsidered as another unknown and can be handledby adding its definition as an extra condition. Theequations of motion can be optained by setting thefirst variation of the cost functional to zero. Fourpartial differential equations are obtained for them- selves and complex conjugates of the wave and cos- tate functions. The equations for the wave functionare accompanied by initial conditions while the cos- tate function related partial differential equationsare right hand sided and accompanied by final con- ditions. This for equations two by two, describesforward and backward evolutions for the system andthese evolutions are connected by the algebraichowever functional relation obtained for the exter- nal field amplitude. All these equations are non line- ar for the general case. However for the present lin- earity assumptions they become linear.The equations of motion mentioned above are notattempted to be solved. Instead, ordinary differentialequations for the expectation values of position andmomentum operators on the wave function and thetransition terms between the states decscribed by thewave and costate functions are constructed. Thesetemporal ODEs are linear but may be timevariant inthe coefficients if the weight functions of the penaltyterms are temporally varying. The simplest case in- volves the cases where these weights are constanstsand the ODEs can be analytically solved in terms ofan exponentials matrix. This results in analytic ex- pressions for the unknowns. These expressions de- pend not only on time but olsa control time (T). Ascan be shown by rigorous analytical analysis andverified by the numerical implementations, there arecertain critical values of the control time where theextressions grow up to infinity or vanishes. Vanish- ing values mean exact achievement of the target val- ue by the expectation value of the objective operator.These are the best control instants where the goal isexactly achieved. On the other hand, control timescausing infinite jumps, are just the time instants thecontrol becomes infeasible.The critical control times creating infinite jumps arecalled “Critical Control Times for Uncontrollabil- ity” and it is important to know these values beforeattempting the experimentation to avoid uncontrol- lability. Otherwise, experiment is wasted out. Thecritical control times which make the deviation ofthe expectation values of the objective operator fromits target value are called “Critical Control Timesfor Exact Achievement” and they are useful to getthe best control. Paper contains all important issuesabout these points.