Zaman-Uzayda Sonlu Farklar Yöntemin Dezavantajları İçin Geometrik Optik Yöntemlerin Kullanımı

Elektromanyetikte Maxwell denklemleri, kısmi diferansiyel denklemler (KDD) olup, çözümü için uzay-zamanda nümerik yöntemler kullanılmaktadır. En yaygın yöntemlerden biri olan Zaman-Uzayda Sonlu Farklar (ZUSF) yöntemi Maxwell KKD’leri ızgarada doğrudan çözer. ZUSF’de, elektromanyetik alanları yeterli miktarda örnekleyip, katlanmayı önlemek için ızgara aralıkları (x, y, z) seçilir. Maksimum zaman aralığı (t) ise nümerik algoritmanın kararlılığını sağlayacak şekilde belirlenir. Nümerik çözümlerde, KDD’lerin ayrıklaştırılmasından dolayı, ZUSF yöntemi, ızgarada farklı hızlarda ve yönbağımlı dalga yayılımına sebep olan nümerik dağılmaya maruzdur. Nümerik dağılma zamansal çözümde ciddi faz hataları yaratmaktadır. Bu hatalar birikimli artmaktadır. Ayrıca ızgaradaki bazı kipler ışık hızının ötesine geçmektedir. Bu çalışmada, Maxwell KDD’lerini doğrudan çözmek yerine, Geometrik Optik yöntemleri kullanarak, zamansal elektromanyetik için Işın Tabanlı Sonlu Farklar (ITSF) adlı bir yöntem önerilmiştir. Elektromanyetik alanların kendisi ve ardışık zaman diferansiyellerindeki süreksizlikler hiperuzayda sadece dalgacepheleri üzerinde olur ve ışınlar üzerindetaşıma denklemleri adı verilen adi diferansiyel denklemler (ADD) ile taşınırlar. Yönbağımsız ortamda, elektromanyetik enerji dalgacephesine dik olan ışınlar doğrultusunda akar. ITSF, hesaplama ızgarası yaratılırken enerjinin akış yönünü (ışınları) dikkate alır, ızgaradaki nümerik hesaplamalar için ADD olan taşıma denklemlerini kullanır ve Taylor serisi açılımdan yararlanarak zamansal elektromanyetik alanı hesaplar. Benzetim sonuçları, ZUSF’nin dezavantajlarını gidermek için ITSF’nin kullanılabileceğini göstermektedir.

Anahtar Kelimeler:

Elektromanyetik, Maxwell denklemleri, nümerik yöntemler, nümerik dağılma, geometrik optik.

PDF

___

Stratton, J.A., Electromagnetic Theory,
McGraw-Hill, NY, 1964.
Taflove, A. ve Hagness, S.C., Computational
Electrodynamics–The Finite Difference Time
Domain Method, Artech House, MA, 2005.
Schneider, J.B. ve Wagner, C.L., “FDTD
dispersion revisited: faster than light
propagation”, IEEE Microwave and Guided
Wave Letters, Cilt 9, No 2, 54-56, 1999
Çiydem, M., Ray Based Finite Difference
Method For Time Domain Electro-magnetics,
Doktora tezi, ODTÜ, Ankara, Türkiye, 2005.
Çiydem, M. ve Koç, S., “Elimination of FDTD
numerical dispersion by using geometrical optic”, IEEE APS/URSI Symp., Albequerque, USA,
-3820, July, 2006.
Klein, M. ve Kay, I.W., Electromagnetic
Theory and Geometrical Optics, Interscience
Publisher, NY, 1965.
Yee, K.S., “Numerical solution of initial
boundary value problems involving Maxwell’s
equations in isotropic media”, IEEE Trans. AP,
Cilt 14, No 3, 302-307, 1966
Courant, R., Friedrichs, K., ve Levy, H., “On the
partial differential equations of mathematical
physics”, IBM Journal, Cilt 11, 215-237, 1967
Shin, C-S. ve Nevels, R., “Optimizing the
Gaussian excitation function in finite different
time domain method”, IEEE Trans. Education,
Cilt 45, No 1, 54-56, 2002
Sommerfeld A., Partial Differential Equations
in Physics, Academic Press, NY, 1949
Courant, R. ve Hilbert, D., Methods of
Mathematical Physics, Interscience Publisher,
NY, 1964.