Mustafa Reşit USAL, ALİ Ünal ERDEM, Melek USAL

Keyfi fiber takviyeli viskoelastik piezoelektrik bir cismin elektro-termomekanik davranışı için matematiksel bir model

Bu çalışmada, keyfi fiber takviyeli viskoelastik ve piezoelektrik bir malzemenin dış çevreden maruz kaldığı elektromekanik yükler karşısındaki davranışı Sürekli Ortamlar Mekaniği kapsamında sistematik bir şekilde incelenmiştir. Cismin matris kısmı viskoelastik ve piezoelektrik anizotropiye sahip olup buna ilave olarak fiber takviyesi nedeniyle de cisim tüm ortam olarak anizotropik bir yapıya sahip olacaktır. Bu bağlamda cisim davranış olarak kendisini uyaran çevreye elastik gerilme, disipatif gerilme, ve elektriksel polarizasyon alanları tarzında cevap verecektir. Buradaki büyüklükler bünye denklemleri olarak elde edilmiştir. Genel yaklaşım tarzı olarak elastik gerilme ve elektriksel polarizasyon alanları, işlemler içinde tanımlanan bir termodinamik potansiyelden (gerilme potansiyeli) türetilirken; dissipatif gerilme ise kendi argümanlarına bağlı tansörel bir fonksiyon olarak şekillendirilmiştir. Sözkonusu argümanlar, Modern Sürekli Ortamlar Mekaniğinin genel aksiyomlarına göre tesbit edilmiş olup bunlar, deformasyon ölçüsü olarak Green deformasyon tansörü, deformasyon hızları tansörü, elektrik alanı, fiber-dağılım tansörü, ve sıcaklık alanı’ndan ibaret argümanlardır. Diğer taraftan herhangi bir teoriyle bünye fonksiyonlarının bizzat kendilerini elde etmek mümkün olamayacağından dolayı, bu fonksiyonlar hakkındaki tüm bilgiler oluşturulduktan sonra, bunların analitik oldukları varsayılıp kuvvet serileriyle temsil edilmek suretiyle sıfır etkileşim civarındaki Taylor serisi açılımından ortaya çıkan terimler, ağırlıklarına göre sınıflandırılıp (örneğin lineer ve nonlineer davranışlar) göz önünde bulundurulan fiziksel durumlar referans alınarak kullanılmaktadır. Örneğin, mekanik etkileşimlerin lineer, elektromekanik etkileşimlerin ise nonlineer kabül edildiği uygulama durumları dikkate alındığında bünye denklemlerindeki fonksiyonları veren kuvvet serilerinin terimlerinin mertebeleri buna göre tesbit edilmektedir. Sonuç olarak elde edilen bünye denklemleri denge denklemlerinde yerlerine yazılarak alan denklemleri bulunmuştur.

A mathematical model for the electrothermomechanical behavior of an arbitrarily fiber-reinforced viscoelastic piezoelectric body

In this work behavior of an arbitrarily fiber-reinforced viscoelastic and piezoelectric material is investigated systematically in the context of modern continuum mechanics when they are subjected to external loadings. In addition to the strong anisotropy being caused by distribution of fibers in an otherwise isotropic material, we have assumed here that the matrix material is also by itself anisotropic with piezoelectric property. In this context the material will respond by means of elastic stress, dissipative stress, and electric polarization as relevant constitutive response functions. In this general approach elastic stress and polarisation is derived from a thermodynamic potential (elastic stress potential), while dissipative stress is expressed as a tensorial function in terms of its relevant arguments. These arguments are the deformation measures which are fixed in conformity with the axioms of modern continuum mechanics. They are Green deformation tensor, rate of deformation tensor, electric field, fiber-distribution vector, and absolute temperature. On the other hand, because of evident impossibility of obtaining authentic identification of these response functions by any theory whatsoever , once general information has been established about their constitutive behavior, they are shaped by Taylor-series representations, about the zero-interaction, assuming that they are analytical functions of their relevant arguments . Depending on the physical context of the problem (such as linear or nonlinear in certain measures) a number of nonlinear terms appearing on the power series are considered appropriately. We are to choose proper degrees of the terms accordingly when for instance mechanical interactions are linear and electromechanical interactions are nonlinear. In the conclusion, field equations have been obtained by substituting relevant constitutive equations into the differential balance equations.

PDF

___

1.Kaliske, M., "A Formulation of Elasticity and Viscoelasticity for Fibre Reinforced Material at Small and Finite Strains", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 185, 225-243, 2000.
2.Holzapfel, G.A., Gasser, T.C., "A Viscoelastic model for Fiber-reinforced Composites at Finite Strains: Continuum Basis, Computational Aspects and Applications", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 190, 4379- 4403,2001.
3.Limbert, G., Taylor, M., " On the Constitutive Modeling of Biological Soft Connective Tissues:A General Theoretical Framework and Explicit Forms of the Tensors of Elasticity for Strongly Anisotropic Continuum: Fiber-reinforced Composites at Finite Strains", International Journal of Solids and Structures, 39, 2343- 2358,2002.
4.Usal, M., Biyolojik bir Konstrüksiyon Elemanı için Matematiksel Modelleme, Doktora tezi, Süleyman Demirel Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2001.
5.Ramakrishna, S., Mayer, J., Wintermantel, E.,Leong, K.W., "Biomedical Applications of Polymer-composite Materials, A Review", Composites Science and Technology, 61, 1189-1224, 2001.
6.Haddad, Y.M., Viscoelasticity of Engineering Materials, Chapman & Hall, New York, 1995.
7.Lakes, R.S., Viscoelastic Solids, CRC Press LLC, New York, 1998.
8.Thien, N.P., Understanding Viscoelasticity- Basics of Rheology, Springer-Verlag, Berlin, 2002.
9.Lemaitre, J., Handbook of Materials Behavior Models. Volumes I: Deformations of Materials, Academic Press, London, 2001.
10.Koh, S.L., Eringen, A.C., "On the Foundations of Non-linear Thermo-viscoelasticity", Int. J.Engng. Sci., 1, 199-229, 1963.
11.Mulhern, J.F., Rogers, T.G., Spencer, A.J.M., "A Continuum Model for Fibre-Reinforced Plastic Materials", Proc. Roy. Soc. A,, 301, 473-492, 1967.
12.Spencer, A.J.M., "Continuum Theory of the Mechanics of Fibre Reinforced Composites", International Center for Mechanical Sciences, Course and Lecturers, nr.282, ed. by A.J.M. Spencer, Springer Verlag, Wien-New York, 1984.
13.Spencer, A.J.M., Deformations of Fibre-Reinforced Materials, Clarendon press, Oxford, 1972.
14.Mindlin, R.D., "Elasticity, Piezoelectricity and Crystal Lattice Dynamics", J. of Elasticity, 2, 217-282, 1972.
15.Parkus, H., Electromagnetic Interactions in Elastic Solids, Springer Verlag, Wien - New York, 425 p. 1979.
16.Kamlah, M., "Ferroelectric and Ferroelastic Piezoceramics - Modeling of Electromechanical Hysteresis Phenomena", Continuum Mech. Thermodyn., 13, 219-268, 2001.
17.Eringen, A.C., Maugin, G.A., Electrodynamics of Continua, vol. I, Foundations and Solid Media, North - Holland, 1990.
18.Eringen, A.C., Maugin, G.A., Electrodynamics of Continua, vol. II, Fluids and Complex Media, North - Holland, 1990.
19.Tiersten, H.F., "On the Nonlinear Equations of Thermo-electro Elasticity", Int. J. Engng. Sci., 9, 587-604, 1971.
20.Erdem, A. Ü., "A Nonlocal Viscoelastic Model for Fiber-reinforced Materials", Euromech Colloquium 231, Constitutive Equations in Viscoelasticity-applications and Methods of Solutions, Oct. 6-9, Smolenice Castle, Czechoslovakia, Abstracts, p.4, 1989.
21.Öntürk, N., İki Fiber Ailesi ile Takviyeli Viskoelastik Kompozit Ortamlarda Bünye Denklemlerinin Modellenmesi, Doktora Tezi, Gazi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 1989.
22.Usal, M.R., Fiber Takviyeli Elastik Dielektrik Ortamların Elektro-Termomekanik Davranışına ait Matematiksel bir Model, Doktora Tezi, Erciyes Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 1994.
23.Erdem, A.Ü., Usal, M.R., "On Nonlinear Electroelastic Behavior of Fiber-Reinforced Dielectric Media", Bulletin of the Technical University of Istanbul, (Special Issue: Şuhubi and Continuum Mechanics), vol. 47, 4, 105-135, 1994.
24.Şuhubi, E.S., Sürekli Ortamlar Mekaniği- Giriş, İ.T.Ü., Fen Edebiyat Fakültesi Yayını, 1994.
25.Eringen, A.C., Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, 1967.