Öklid 3-Uzayında Hasimoto Yüzeylerinin Paralel Yüzeyleri

Bu çalışmada, ilk olarak Hasimoto yüzeyler ve paralel yüzeyler tanıtılmıştır. İkinci olarak, Hasimoto yüzeyler veparalel yüzeylerle ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir. Bundan sonra, elde edilen paralel yüzeylerin birincive ikinci temel form katsayıları hesaplanmıştır. Böylece, Gauss ve ortalama eğrilikler bulunmuştur ve asıl yüzeyve paralelinin eğrilikleri arasındaki ilişkiler verilmiştir. Ayrıca, bu eğrilikleri kullanarak, bazı diferansiyelgeometrik sonuçlar verilmiştir ve Hasimoto yüzeyi ve paralel yüzeyinin parametre eğrilerinin hangi şart altındageodezik, asimptotik veya eğrilik çizgisi olma durumları tartışılmıştır. Son olarak, eğer Hasimoto yüzeyini üreteneğri bir düzlem eğrisi ise o zaman paralel eğrinin eğriliği hesaplanmıştır. Bir örnek verilmiştir ve elde edilen eğrilerMathematica yardımıyla çizilmiştir.

Parallel Surfaces of Hasimoto Surfaces in Euclidean 3-Space

In this study, firstly Hasimoto surfaces and parallel surfaces are introduced. Secondly, basic definitions and theorems about Hasimoto surfaces and parallel surfaces are given. After that, the coefficients of the first and second fundamental forms of the obtained parallel surfaces are calculated. Thus, Gaussian and mean curvatures are found and the relations between the curvatures of the original surface and its parallel are given. In addition, using these curvatures, some differential geometric results are given and it is discussed that the parameter curves of Hasimoto surface and its parallel surface are geodesic, asymptotic or line of curvature under which condition. Finally, if the curve producing the Hashimoto surface is a plane curve, then curvature of the parallel curve is calculated. An example is given and the obtained curves are drawn with the help of Mathematica.

PDF

___

Hasimoto H. 1972. A Soliton on a vortex filament, J. Fluid Mech. 51: 477-485.
Abdel-All N. H, Abdel-Razek M. A, Abdel-Aziz H. S, Khali A. A. 2011. Geometry of evolving plane curves problem via lie group analysis, Studies in Mathematical Scinces, 2: 51-62.
Abdel-All N. H, Hamad M. A. A, Abdel-Razek M. A, Khalil A. A. 2011. Computation of Some Geometric Properties for New Nonlinear PDE Models, Applied Mathematics, 2 (6): 666-675.
Abdel-All N H, Al-Dossary M. T. 2011. Motion of hyper surfaces, Assiut univ. Journal of Math. and Computer Science 40 (1): 91-104.
Abdel-All N. H, Mohamed S. G, Al-Dossary M. T. 2014. Evolution of generalized space curve as a function of its local geometry, Applied Mathematics, 5 (15): 2381-2392.
VassiliouIan P. J, Lisle G. 2000. Geometric approaches to differential equations. Cambridge University Press.
Abdel-All N. H, Hussien R. A, Youssef T. 2012. Hasimoto Surfaces. Life Science Journal, 9(3): 556-560.
Erdoğdu M, Özdemir M. 2014. Geometry of Hasimoto Surfaces in Minkowski 3-Space. Math. Phys. Anal. Geom, 17: 169-181.
Craig, T. 1883. Note on parallel surfaces, Journal f¨ur die Reine und Angewandte Mathematik (Crelle’s journal), 94: 162–170.
Patriciu, A. M. 2010. On some H3 -helicoidal surfaces and their parallel surfaces at a certain distancein 3-dimensional Minkowski space. Annals of the University of Craiova, Maths. and Compt. Science Series, 37 (4): 93-98.
Ünlütürk Y, Özüsağlam E. 2013. On Parallel Surfaces in Minkowski 3-space. Twms J. App. Eng. Math. 3(2): 214-222.
Tarakçı Ö, Kızıltuğ S, Yaylı Y. 2013. On the curves lying on parallel surfaces in the Euclidean 3- space E3 . Journal of Advanced Research in Dynamical and Control Systems, 5(3): 26-35.
Kızıltuğ S. 2017. Bertrand and Mannheim Partner-curves on Parallel Surfaces. Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, 35 (2): 159-169.
Hacısalihoğlu H. H. 1983. Diferensiyel Geometri, İnönü Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Yayınları, Ankara.
Gray A. 1998. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, Crc Press, USA.